ปัญหาการหาค่าราก
ในโลกของการวิเคราะห์เชิงตัวเลข เราได้นิยามคำสำคัญสองคำดังนี้:
- ปัญหาการหาค่าราก: การหาค่าราก หรือคำตอบ ของสมการในรูปแบบ $f(x) = 0$
- จุดศูนย์ของฟังก์ชัน: ค่ารากของสมการ $f(x) = 0$
ความซับซ้อนเกิดขึ้นในแบบจำลองจริงที่ตัวแปรถูกกักขังอยู่ภายในตัวดำเนินการที่ไม่เป็นเชิงเส้น พิจารณาแบบจำลองการเติบโตทางชีวภาพและฟิสิกส์ต่อไปนี้:
- โมเดลโลจิสติก: $P(t) = \frac{P_L}{1 - ce^{-kt}}$
- โมเดลโอมเพิร์ตซ์: $P(t) = P_L e^{-ce^{-kt}}$
การแก้สมการเพื่อหาเวลา $t$ หรือค่าคงที่การเติบโต $k$ ต้องอาศัยตัวแปรที่ปรากฏอยู่ทั้งในเลขชี้กำลังของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและในตัวหารพร้อมกัน ทำให้การแยกตัวแปรทางวิเคราะห์เป็นไปไม่ได้
การเปลี่ยนจากความแม่นยำไปสู่การประมาณค่า
ความจำเป็นในการใช้วิธีเชิงตัวเลขถูกเน้นไว้ในด้านการเงินและฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น การคำนวณอัตราดอกเบี้ย $i$ ในสมการอนุมูลที่ชำระล่วงหน้า $A = \frac{P}{i}[(1 + i)^n - 1]$ หรือเวลา $t$ ในแบบจำลองความเข้มข้นของยาเช่น $c(t) = Ate^{-t/3}$ จำเป็นต้องเปลี่ยนจากการหาคำตอบที่แม่นยำ ไปสู่การประมาณค่าที่มีความคลาดเคลื่อนควบคุมได้
พิจารณาสมการสมดุลพลังงาน: $$1,564,000 = 1,000,000e^{\lambda} + \frac{435,000}{\lambda}(e^{\lambda} - 1)$$ การหาค่าคงที่ $\lambda$ ต้องใช้การวนซ้ำเชิงตัวเลข เพราะ $\lambda$ ปรากฏทั้งในตำแหน่งของตัวหารเชิงเส้นและในเลขชี้กำลัง
ในความน่าจะเป็นการชนะแบบปิดเกมในเกมแร็คเก็ตบอล: $$P = \frac{1 + p}{2} \left( \frac{p}{1 - p + p^2} \right)^{21}$$ หากผู้สังเกตทราบค่า $P$ และต้องการหาระดับความสามารถ $p$ จะพบกับสถานการณ์ของพหุนามดีกรี 42